Shift - Translation d'une fonction
Définition
Définition de la translation d'une fonction :
- \(a\in{\Bbb R}\)
- \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\) (similairement, \(f:\Bbb T\to{\Bbb C}\))
$$\Huge\iff$$
- on définit $$\tau_af:\begin{align}{\Bbb R}&\longrightarrow{\Bbb C}\\ x&\longmapsto f(x-a)\end{align}$$
Définition du shift des éléments d'un vecteur :
- soit \(\Bbb P_N=\{0,\dots,N-1\}\), réprésentant \({\Bbb Z}/N{\Bbb Z}\)
- soit \(a\in\Bbb P_N\)
$$\Huge\iff$$
- $$\tau_a:\begin{align}{\Bbb C}^{\Bbb P_N}&\longrightarrow{\Bbb C}^{\Bbb P_N}\\ x&\longmapsto\tau_ax\end{align}\quad\text{ avec }\quad(\tau_ax)_k=\underbrace{x_{k-a}}_{\mod N}$$
Propriétés
Formules de base
$${{\widehat{\tau_af}[n]}}={{\underbrace{e^{-ina} }_{\text{"phase"} }\hat f[n]}}$$
$${{f(\theta-a)}}={{\sum F_ne^{in(\theta-a)}=\sum[F_ne^{-ina}]e^{in\theta} }}$$
Transformée de Fourier
$${{\widehat{\tau_ax}_k}}={{e^{-2\pi i ak/N}\hat x_k}}$$
